Skip to content

Veelhoekgeometrie: vijfhoeken, zeshoeken en twaalfhoeken

8 de augustus de 2021
compass desk geometry 376689 75b6df236a204cee96e7eda24e30a845

Weinig geometrische vormen zijn zo divers als polygonen. Ze omvatten de bekende driehoek, vierkant en vijfhoek, maar dat is slechts het begin. In de geometrie is een veelhoek elke tweedimensionale vorm die aan de volgende voorwaarden voldoet:

  • Bestaat uit drie of meer rechte lijnen
  • Is gesloten zonder openingen of breuken in de vorm
  • Heeft paren lijnen die aansluiten op de hoeken of hoekpunten waar ze hoeken vormen
  • Heeft een gelijk aantal zijden en binnenhoeken

Tweedimensionaal betekent plat als een stuk papier. Kubussen zijn geen veelhoeken omdat ze driedimensionaal zijn. Cirkels zijn geen veelhoeken omdat ze geen rechte lijnen bevatten. Een speciaal soort polygoon kan hoeken hebben die niet allemaal gelijk zijn. In dit geval heet het an onregelmatig veelhoek.

Over veelhoeken

De naam veelhoek komt van twee Griekse woorden:

  • Poly, wat betekent veel
  • Gon, wat betekent hoek

Vormen die veelhoeken zijn

  • Trigon (driehoek): 3 zijden
  • Tetragon (vierkant): 4 zijden
  • Vijfhoeken: 5 zijden
  • Zeshoek: 6 zijden
  • Heptagon: 7 zijden
  • Achthoeken: 8 zijden
  • Nonagon: 9 zijden
  • Tienhoek: 10 zijden
  • Undecagon: 11 zijden
  • Dodecagons: 12 zijden

Hoe veelhoeken worden genoemd

Gemeenschappelijke veelhoeken en hun interne hoeken

De namen van individuele veelhoeken zijn afgeleid van het aantal zijden of hoeken dat de vorm bezit. Veelhoeken hebben hetzelfde aantal zijden en hoeken. De algemene naam voor de meeste veelhoeken is het Griekse voorvoegsel voor “zijden” dat is gekoppeld aan het Griekse woord voor hoek (gon). Voorbeelden hiervan voor vijf- en zeszijdige regelmatige veelhoeken zijn:

  • Penta (Grieks betekent vijf) + gon = Pentagon
  • Hexa (Grieks betekent zes) + gon = zeshoek

Er zijn uitzonderingen op dit naamgevingsschema. Met name met woorden die vaker worden gebruikt voor sommige polygonen:

  • Driehoek: Gebruikt het Griekse voorvoegsel Trio, maar in plaats van het Griekse gon, de Latijnse hoek is gebruikt. Trigon is de juiste geometrische naam, maar wordt zelden gebruikt.
  • Vierhoek: Afgeleid van het Latijnse voorvoegsel vier, betekenis vier, gehecht aan het woord lateraal, wat een ander Latijns woord is dat betekent: kant.
  • Vierkant: Soms wordt een vierzijdige veelhoek (een vierkant) aangeduid als a vierhoek of tetragon.

N-Gons

Veelhoeken met meer dan 10 zijden komen niet vaak voor, maar volgen dezelfde Griekse naamgevingsconventie. Dus een 100-zijdige veelhoek wordt a . genoemd hectogon. In de wiskunde worden vijfhoeken echter soms handiger aangeduid als: n-gons:

  • 11-gon: Hendecagon
  • 12-gon: twaalfhoek
  • 20-gon: Icosagon
  • 50-gon: Vijfhoek
  • 1000-gon: Chiliagon
  • 1000000-gon: Megagon

In de wiskunde worden n-gons en hun Griekse tegenhangers door elkaar gebruikt.

Polygoonlimiet

Theoretisch is er geen limiet aan het aantal zijden dat een veelhoek kan hebben. Naarmate de grootte van de binnenhoeken van een veelhoek groter wordt en de lengte van de zijden korter, nadert de veelhoek een cirkel, maar komt daar nooit helemaal.

Polygonen classificeren

Regelmatige, onregelmatige, complexe, eenvoudige zeshoeken

Regelmatige versus onregelmatige veelhoeken

Veelhoeken worden geclassificeerd op basis van het al dan niet gelijk zijn van alle hoeken of zijden.

  • Normaal veelhoek: Alle hoeken zijn even groot en alle zijden zijn even lang.
  • Onregelmatig veelhoek: Heeft geen even grote hoeken of zijden van gelijke lengte.

Convexe versus concave veelhoeken

Een tweede manier om polygonen te classificeren is door de grootte van hun interne hoeken.

  • Convexe veelhoeken: Geen interne hoeken groter dan 180° hebben.
  • Concave veelhoeken: Hebben ten minste één interne hoek die groter is dan 180°.

Eenvoudige versus complexe veelhoeken

Een andere manier om polygonen te classificeren is de manier waarop de lijnen die de polygoon vormen elkaar snijden.

  • Eenvoudige polygonen: De lijnen verbinden of kruisen elkaar slechts één keer – op de hoekpunten.
  • Complexe veelhoeken: De lijnen kruisen elkaar meer dan eens.

De namen van complexe veelhoeken zijn soms anders dan die van eenvoudige veelhoeken met hetzelfde aantal zijden. Bijvoorbeeld:

  • Een regelmatig gevormde zeshoek is een zeshoekige, eenvoudige veelhoek.
  • Een stervormig hexagram is een zeshoekige, complexe veelhoek die is gemaakt door twee gelijkzijdige driehoeken te overlappen.

Som van de regel voor binnenhoeken

De interne hoeken van een veelhoek berekenen

In de regel wordt elke keer een zijde aan een veelhoek toegevoegd, zoals:

  • Van driehoek naar vierhoek (drie tot vier zijden)
  • Van een vijfhoek naar een zeshoek (vijf tot zes zijden)

nog eens 180° wordt toegevoegd aan het totaal van de binnenhoeken. Deze regel kan worden geschreven als een formule:

(n – 2) × 180°

waarbij n gelijk is aan het aantal zijden van de veelhoek. Dus de som van de binnenhoeken voor een zeshoek kan worden gevonden met behulp van de formule:

(6 – 2) × 180° = 720°

Hoeveel driehoeken in die veelhoek?

De bovenstaande formule voor de binnenhoek wordt afgeleid door een veelhoek in driehoeken te verdelen, en dit aantal kan worden gevonden met de berekening:

n – 2

In deze formule is n gelijk aan het aantal zijden van de veelhoek. Een zeshoek (zes zijden) kan worden verdeeld in vier driehoeken (6 – 2) en een dodecagon in 10 driehoeken (12 – 2).

Hoekmaat voor regelmatige veelhoeken

Voor regelmatige veelhoeken, waarin hoeken allemaal even groot zijn en zijden even lang, kan de grootte van elke hoek in een veelhoek worden berekend door de totale grootte van hoeken (in graden) te delen door het totale aantal zijden. Voor een regelmatige zeshoekige zeshoek is elke hoek:

720° ÷ 6 = 120°

Enkele bekende veelhoeken

The Octagon - Een regelmatige achtzijdige achthoek

Bekende polygonen zijn onder meer:

spanten

Dakspanten zijn vaak driehoekig. Afhankelijk van de breedte en helling van het dak, kan de truss gelijkzijdige of gelijkbenige driehoeken bevatten. Vanwege hun grote sterkte worden driehoeken gebruikt bij de constructie van bruggen en fietsframes. Ze zijn prominent aanwezig in de Eiffeltoren.

het Pentagon

Het Pentagon – het hoofdkwartier van het Amerikaanse ministerie van Defensie – ontleent zijn naam aan zijn vorm. Het gebouw is een vijfhoekige, regelmatige vijfhoek.

Thuisplaat

Een andere bekende vijfhoekige regelmatige vijfhoek is de thuisplaat op een honkbalruit.

Het valse Pentagon

Een gigantisch winkelcentrum in de buurt van Shanghai, China, is gebouwd in de vorm van een regelmatige vijfhoek en wordt soms het nep-pentagon genoemd.

Sneeuwvlokken

Elke sneeuwvlok begint als een zeshoek, maar temperatuur- en vochtigheidsniveaus voegen takken en ranken toe, zodat ze er allemaal anders uitzien.

Bijen en wespen

Natuurlijke zeshoeken omvatten ook bijenkorven, waarbij elke cel in een honingraat die de bijen bouwen om honing vast te houden zeshoekig is. De nesten van papieren wespen bevatten ook zeshoekige cellen waar ze hun jongen grootbrengen.

De Giant’s Causeway

Zeshoeken zijn ook te vinden in de Giant’s Causeway in het noordoosten van Ierland. Het is een natuurlijke rotsformatie die bestaat uit ongeveer 40.000 in elkaar grijpende basaltkolommen die zijn ontstaan ​​toen de lava van een oude vulkaanuitbarsting langzaam afkoelde.

de achthoek

De Octagon – de naam die wordt gegeven aan de ring of kooi die wordt gebruikt in Ultimate Fighting Championship (UFC) -gevechten – ontleent zijn naam aan zijn vorm. Het is een achthoekige regelmatige achthoek.

Stopborden

Het stopbord – een van de meest bekende verkeersborden – is nog een achthoekige regelmatige achthoek. Hoewel de kleur, tekst of symbolen op het bord kunnen variëren, wordt de achthoekige vorm voor het stopbord in veel landen over de hele wereld gebruikt.